ریاضی هفتم — چاپ ۱۴۰۳
فصل ۱: راهبردهای حل مسئله
هر مسئلهای یک قفل است؛ راهبردها کلیدهای تو هستند! 🗝️
شروع درس • صفحات ۱ تا ۱۲ کتاب ریاضی هفتم (چاپ ۱۴۰۳)
تا حالا شده جلوی یک مسئله بنشینی و ندانی از کجا شروع کنی؟ نگران نباش — ریاضیدانها هم همین مشکل را داشتند تا اینکه کشف کردند: حل مسئله یک «دستور پخت» دارد! در این فصل با ۴ مرحلهٔ حل هر مسئله و ۹ راهبرد طلایی آشنا میشویم و همهٔ تمرینهای کتاب را قدمبهقدم حل میکنیم. کتاب میگوید: «مهمترین قسمت فعالیتها، بخش نتیجهگیری است؛ آن قسمتها را به صورت کامل بنویسید.»
صفحهٔ ۱ کتاب
قبل از هر راهبردی، این دستور پخت را حفظ کن — تا آخرِ کتاب با توست
فرض کن مادرت گفته «برو نان بخر» ولی نگفته از کدام نانوایی و با کدام پول! بدون نقشه، سرگردان میشوی. مسئلههای ریاضی هم همینطورند. کتاب درسی میگوید: «حل کردن هر مسئله، ۴ مرحله دارد. در تمام کتاب وقتی با مسئلهای روبهرو میشوید، این ۴ مرحله را در ذهن خود مرور کنید تا کمکم در حل کردن مسئله، فکر خود را سازماندهی کنید.» یعنی گرهٔ کار در حفظ کردن فرمول نیست؛ در مرتب کردن فکر است!
مرحلهٔ 1: مرحلهٔ ۱: فهمیدن مسئله
مسئله را به زبان خودت بیان کن، خلاصهاش کن، دادهها و خواستهها را جدا کن و شرطهای خاص را مشخص کن. اگر خوب نفهمیدی سؤال چیست، هیچ راهبردی نجاتت نمیدهد!
نکتهٔ جالب: ممکن است یک مسئله با چند راهبرد حل شود، یا چند نفر از یک راهبرد استفاده کنند ولی شیوهٔ بهکار بردن آنها متفاوت باشد. مثلاً همه یک مسئله را با «رسم شکل» حل کنند ولی شکلهایشان متفاوت باشد. پس اگر دوستت با روش دیگری جواب گرفت، هر دو درست فکر کردهاید — در یک کلاس ریاضی خوب و فعال، تنوع راهبرد و راهحل وجود دارد.
صفحهٔ ۲ کتاب
کشیدن یک شکل مناسب میتواند به حل مسئله کمک کند یا بهطور کامل آن را حل کند
📖 متن کتاب:
چرا رسم شکل اینقدر کارساز است؟ چون چشم تو سریعتر از ذهنش حساب میکند! وقتی مستطیل را میکشی و خط فاصلهٔ یک متری را دور آن میکشی، بدون هیچ عملیاتی میبینی که طول جدید ۲ واحد بیشتر شده است. پس هر وقت مسئله دربارهٔ زمین، دیوار، مسیر حرکت یا شکلی بود، اولین کاری که میکنی: یک شکل ساده میکشی. نیازی به نقاشی زیبا نیست — چند خط و مستطیل کافی است.
یک باغچهٔ مستطیلشکل به طول ۱۰ و عرض ۵ متر داریم. اگر بخواهیم به فاصلهٔ یک متر از ضلعهای باغچه، دورتادور آن را نرده بکشیم، چند متر نرده لازم است؟
توپی از ارتفاع ۱۸ متری سطح زمین رها میشود و پس از برخورد با زمین، نصف ارتفاع قبلی خود بالا میآید. این توپ از لحظهٔ رها شدن تا سومین مرتبهای که به زمین میخورد، چند متر حرکت کرده است؟
قورباغهای میخواهد از یک دیوار بالا برود. او با هر جهش ۳ متر بالا میرود و هر بار ۲ متر سُر میخورد و پایین میآید. اگر ارتفاع دیوار ۹ متر باشد، او با چند جهش به بالای دیوار میرسد؟
صفحهٔ ۳ کتاب
نام دیگر این راهبرد: «تفکر نظامدار» — نظم، راز کامل شمردن همهٔ حالتهاست
📖 متن کتاب:
تصور کن بخواهی همهٔ راههای رفتن از خانه به مدرسه را بنویسی. اگر بینظم بنویسی، وسط کار گیج میشوی و مطمئن نیستی چیزی جا نمانده. ولی اگر اول «راههای خیابان الف» را کامل بنویسی بعد «خیابان ب»، هیچوقت گم نمیشوی! این همان الگوسازی است: انتخاب یک ترتیب منطقی (مثلاً از کوچک به بزرگ) و رفتن روی آن مثل ریل قطار.
دو عدد طبیعی پیدا کنید که حاصلضرب آنها ۲۴ و حاصلجمع آنها کمترین مقدار ممکن باشد. جدول را با نظم و ترتیب کامل کنید.
با انگشتان یک دست به ۵ صورت میتوان عدد ۱ را نشان داد. به چند صورت میتوان عدد ۲ را نشان داد؟
با رقمهای ۲، ۷ و ۵ تمام عددهای سهرقمی ممکن را بنویسید. (در عددهای شما میتواند رقمهای تکراری هم باشد.)
تعداد زیادی سکهٔ ۵۰ و ۱۰۰ تومانی داریم. به چند حالت میتوان معادل ۵۰۰ تومان درست کرد؟
صفحهٔ ۴ کتاب
ترکیب دو راهبرد قبلی: الگوسازی برای فهرست کردن + حذف برای غربال
📖 متن کتاب:
این راهبرد مثل غربالکردن آرد است: همهٔ مواد را میریزی توی الک و فقط آنچه لازم داری میگذرد! دو گام دارد: گام ۱ — با الگوسازی فهرست کامل حالتها را بساز؛ گام ۲ — شرطهای مسئله را مثل قاضی سرِ هر حالت ببر و نامطلوبها را خط بزن. هر شرطی که به مسئله اضافه باشد، یک الک تیزتر است.
مجموع سن سه نفر ۱۴ سال و حاصلضرب سن آنها ۷۰ است. سن بزرگترین نفر چقدر است؟
دوست شما یک عدد حسابی کوچکتر از ۱۰۰ را در نظر گرفته است. شما باید با طرح چند سؤال، عدد موردنظر را پیدا کنید. او فقط میتواند «بله» و «خیر» بگوید. کدام سؤال مناسبتر است؟ چگونه با نظم و ترتیب به عدد برسیم؟
صفحهٔ ۵ کتاب
کشف رابطه و نظم موجود بین دنبالههای عددی یا هندسی
📖 متن کتاب:
الگویابی یعنی از آنچه «میبینی» به آنچه «نمیبینی» پی ببری! دو ابزار اصلی داری: ۱) اختلافها — ببین عددها چطور به هم اضافه میشوند (+۳؟ ×۲؟). ۲) مکانها — رابطه را با شمارهٔ جایگاه (اول، دوم، دهم…) بنویس؛ این رابطه، پاسخ را بدون ساختن همهٔ شکلها به تو میدهد.
سه عدد بعدی الگوهای زیر را بنویسید و رابطه بین عددها را توضیح دهید: الف) ۱، ۴، ۷، ۱۰، ۱۳، ۱۶، … ب) ۱، ۴، ۹، ۱۶، … ج) ۶۴، ۳۲، ۱۶، ۸، …
در شکلهای کتاب که با چوب کبریت ساخته میشوند، شکل (۱) یک چوب، شکل (۲) چهار چوب و شکل (۳) هفت چوب دارد (مربعهای کنار هم). شکل دهم با چند چوب کبریت ساخته میشود؟ چرا؟
قانون کبریتها به زبان نمادین — n یعنی شمارهٔ شکل
برای شکل دهم: ۳×۱۰ منهای ۲ = ۲۸
شکلهای کتاب یک شبکهٔ ۳ در ۴ (۱۲ خانه) دارند که در شکل (۱) یک خانه، در شکل (۲) دو خانه و در شکل (۳) سه خانه کنار هم سبز رنگ شده است. اگر شکلها به همین ترتیب ادامه پیدا کند، چه کسری از شکل شمارهٔ ۶ رنگی خواهد بود؟
صفحهٔ ۶ کتاب
وقتی راه مستقیمی به جواب نیست، مثل آسانسور با حدسهای منطقی بالا و پایین برو
📖 متن کتاب:
این راهبرد مثل بازی «گرم و سرد» است! یک حدس منطقی میزنی، نتیجه را با خواستهٔ مسئله مقایسه میکنی و از فاصلهها یاد میگیری حدس بعدی را به کدام سمت بزنی. راز موفقیت: جدول ثبت حدسها — کتاب خودش جدولی برای این کار گذاشته است. حدسهای تصادفی و بینظم ممنوع؛ هر حدس باید از حدس قبلی باهوشتر باشد!
۲۰ دستگاه دوچرخه و سهچرخه در یک پارکینگ وجود دارد. اگر تعداد کل چرخهای آنها ۴۵ عدد باشد، چند دوچرخه و چند سهچرخه در توقفگاه وجود دارد؟
| حدس | دوچرخه | سهچرخه | چرخها | نتیجه بررسی |
|---|---|---|---|---|
| اول | ۱۰ | ۱۰ | ۵۰ | زیاد است → سهچرخه کمتر |
| دوم | ۱۵ | ۵ | ۴۵ | دقیقاً درست ✓ |
جدول حدس و آزمایش — دقیقاً مثل جدول کتاب
دو زاویه متمم اند. یکی از این زاویهها ۳ برابر زاویهٔ دیگر است. اندازه هر زاویه را پیدا کنید.
به جای چه عددی میتوان قرار داد؟ (به جای مربع): — از عدد ۱۰ شروع کنید.
صفحهٔ ۷ کتاب
مسئله پیچیده و چندمرحلهای را به چند مسئلهٔ ساده تبدیل کن و به ترتیب جواب بده
📖 متن کتاب:
این راهبرد مثل خوردن یک پیتزای بزرگ است: هیچکس پیتزا را یکجا قورت نمیدهد — برش میزند! کتاب خودش الگوی زیرمسئله را در مسئلهٔ پسانداز محمد نشان میدهد: «الف) پسانداز ۵ هفته چقدر میشود؟ ب) اگر این عدد نصف قیمت کیف باشد، قیمت کیف چقدر است؟» — دو زیرمسئلهٔ کوچک به جای یک مسئلهٔ قاطی!
پسانداز هفتگی محمد ۳۰,۰۰۰ تومان است. او حساب کرده پسانداز ۵ هفته او، نصف قیمت کیفی است که دوست دارد بخرد. قیمت کیف چقدر است؟
در یک مجتمع مسکونی استخری به طول ۱۲، عرض ۶ و عمق ۱/۵ متر وجود دارد. مدیر میخواهد دیوارها و کف استخر رنگ شود. اگر قیمت هر کیلوگرم رنگ ۳۰۰,۰۰۰ تومان، دستمزد هر مترمربع ۲۰,۰۰۰ تومان و مصرف رنگ هر مترمربع ۰/۳ کیلوگرم باشد، هزینهٔ این کار را حساب کنید.
میوهفروشی پرتقالها را کیلویی ۱۷,۵۰۰ تومان میفروخت. او از میدان ۸۰ کیلوگرم پرتقال، کیلویی ۱۲,۰۰۰ تومان خریده؛ حدود ۱۰٪ در حملونقل و ماندن خراب میشود؛ ۱۰۰,۰۰۰ تومان کرایهٔ حمل و حدود ۴۰,۰۰۰ تومان هم هزینههای جانبی داده است. سود او را حساب کنید.
صفحهٔ ۸ کتاب
عددهای بزرگ و ترسناک را با تقریب یا عددهای کوچک جایگزین کن، الگو را کشف کن و برگرد
📖 متن کتاب:
وقتی عددهای مسئله شبیه «۱۳۹۲۵۳۰» به نظر برسند، مغزت قفل میکند! ترفند: عددها را گرد و ساده کن (۱۳۹۲۵۳۰ ≈ ۱۴۰۰۰۰۰)، مسئله را با همین عددهای ساده حل کن و نتیجه را برداشت کن. یا با حالتهای کوچک شروع کن (به جای ۱۰۲۴ کسر، اول با ۴ تا کسر امتحان کن) تا الگو را ببینی — بعد الگو را مثل پل به مسئلهٔ اصلی وصل کن.
قطر خورشید ۱,۳۹۲,۵۳۰ کیلومتر و قطر کرهٔ زمین ۱۲,۷۵۶/۶ کیلومتر است. قطر خورشید تقریباً چند برابر قطر زمین است؟
حاصل عبارت زیر را به دست آورید:
الگوی طلایی: مجموع = ۲ منهای آخرین کسر
۱۰۲۴ = ۲ به توان ۱۰ — پس ۱۱ جمله داریم (از ۱ تا ۱/۱۰۲۴)
اگر ۱۰ نقطه را که هیچ سهتایی از آنها روی یک خط نیستند، دوبهدو به هم وصل کنیم، چند پارهخط به وجود میآید؟ (تعداد پارهخطها در واقع مجموع تعداد ضلعها و تعداد قطرهاست.)
صفحهٔ ۹ کتاب
با نمادهای جبری مسئله را به معادله تبدیل میکنیم؛ از فصل ۳ به بعد، این راهبرد قدرتمندتر هم میشود
📖 متن کتاب:
نماد یعنی میانبر فکر! به جای جملهٔ طولانی «مبلغ پول احمد منهای قیمت چهار دفترش برابر بیست هزار تومان است» مینویسیم: . یک خط نمادین، کل داستان را جمع میکند. کتاب میگوید فعلاً میتوانید عدد جای مربع را حدس بزنید — ولی از فصل ۳ روش دقیق حل معادله را یاد میگیرید.
احمد ۲۰۰,۰۰۰ تومان پول داشت. او ۴ دفتر خرید و ۲۰,۰۰۰ تومان برایش باقی ماند. قیمت هر دفتر چقدر است؟
فاطمه کتاب داستانی را در ۶ ساعت مطالعه کرد و ۱۰ صفحه از آن باقی ماند. اگر این کتاب ۱۰۰ صفحه داشته باشد، فاطمه به طور متوسط در هر ساعت چند صفحه مطالعه کرده است؟
یک سالن مستطیلشکل داریم. میخواهیم در مکانی از سقف این سالن یک دریچهٔ خنککن قرار دهیم؛ به طوری که از ۴ گوشه آن به یک اندازه فاصله داشته باشد. محل دریچه را تعیین کنید.
صفحهٔ ۱۰ کتاب
در حل این مسئلهها از راهبردهایی که آموختهای استفاده کن؛ ممکن است یک مسئله با چند راهبرد حل شود!
📖 متن کتاب:
۱/۵ دانشآموزان کلاسی بسکتبال و ۱/۳ دانشآموزان آن کلاس فوتبال بازی میکنند. سایر دانشآموزان که تعدادشان ۱۴ نفر است، بازی آنها را تماشا میکنند. این کلاس چند دانشآموز دارد؟
مساحت مربعی به ضلع ۱۰۰ سانتیمتر، ۱ مترمربع است. اگر از ضلع مربع ۱۰ درصد کم کنیم، مساحت مربع چند درصد کم میشود؟
کشاورزی زمین خود را به نسبتهای زیر بذرپاشی کرده است: گندم ۴۵٪، جو ۳۷/۵٪ و ذرت ۱۷/۵٪. اگر مساحت زمین او ۱۵ هکتار باشد، مساحت زیر کشت هر بذر را حساب کنید.
حاصل عبارت روبهرو را پیدا کنید:
جمعبندی فصل 1 • صفحات ۱ تا ۱۲ کتاب ریاضی هفتم (چاپ ۱۴۰۳)
این بخش را برای مرور قبل از امتحان از دست نده؛ همهٔ فصل در یک صفحه!
فهمیدن ← انتخاب راهبرد ← حل کردن ← بازگشت به عقب. تا آخر کتاب با توست!
در مرحلهٔ ۴ پاسخ را تفسیر کن: همان خواسته است؟ منطقی است؟ راه دیگری هم هست؟
رسم شکل، الگوسازی، حذف حالتها، الگویابی، حدس و آزمایش، زیرمسئله، مسئله سادهتر، روشهای نمادین و ترکیبها.
مسئلههای زمین/مسیر/شکل را بکش؛ خیلی از جوابها را «میبینی» بدون محاسبه.
همهٔ حالتها را با نظم بنویس تا هیچچیز از قلم نیفتد (مثل سکهها: ۶ حالت).
اول فهرست کامل، بعد غربال با شرطها (مثل مسئلهٔ سنها: (۲،۵،۷)).
از عددهای دیدهشده رابطه بساز؛ مثلاً کبریتها: ۳n−۲ و مجموع کسرها: ۲ منهای آخرین کسر.
حدس ← بررسی ← حدس بهتر (دوچرخه/سهچرخه). جدول حدسها، دوست توست.
مسئلهٔ استخر ۶ محاسبهٔ کوچک شد؛ هر جواب، دادهٔ گام بعد است.
عددهای بزرگ را گرد کن (خورشید ≈ ۱۰۰ برابر زمین) و الگوی حالتهای کوچک را به حالت بزرگ وصل کن.
مفهومهای کلیدی که باید بلد باشی
همهٔ درس در یک پاراگراف — عالی برای شب امتحان! کلمههای زردی که هایلایت شدهاند را با دقت بخوان.
حل مسئله یک مهارت است، نه استعداد! هر مسئلهای با ۴ مرحله حل میشود: خوب بفهم، راهبرد انتخاب کن، حل کن و در پایان برگرد و جواب را تفسیر. ۹ راهبرد جعبهابزار توست: رسم شکل برای دیدن، الگوسازی برای شمردن همهٔ حالتها، حذف حالتها برای غربال، الگویابی برای کشف قانون، حدس و آزمایش وقتی راه مستقیم نیست، زیرمسئله برای بریدن پیچیدگی، مسئله سادهتر برای دور زدن عددهای ترسناک و روشهای نمادین برای ترجمه به زبان معادله. هیچوقت فراموش نکن: یک مسئله میتواند چند راهحل درست داشته باشد — به راههای جدید اعتماد کن و از خطاها یاد بگیر، چون هر حدس اشتباه، یک سرنخ برای حدس بعدی است!
آزمونک فصل ۱ • راهبردهای حل مسئله
17 سؤال از سراسر فصل «راهبردهای حل مسئله» — با توضیح کامل پاسخها
گفتوگو درباره این درس
پرسش، نظر یا تجربهتان را بنویسید
برای نوشتن نظر، ابتدا وارد حساب خود شوید
ورود / ثبتنام